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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
On note $E=\{f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{C})\ /\ f(0)=f(1)=0\}$ et $F$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$.
1) Montrer que $\phi: \, f \mapsto f''$ est un isomorphisme de $E$ dans $F$.
2) Soit $g \in F$. On pose
$\forall x\in [0,1],\ G(x)=\displaystyle\int_0^1|x-t|g(t) \, \mathrm dt$.
Montrer que $G$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et calculer $G''$.
3) Déterminer une fonction continue $k$ telle que:
$\phi^{-1}(g)(x)=\displaystyle\int_0^1k(x,t)g(t) \, \mathrm dt$.
4) Existence et valeur de $\sup\limits_{\| g \| _{\infty} \leqslant 1} \| \phi^{-1}(g) \| _{\infty}$.
$\ex 2$
Déterminer la trace et le déterminant de l'endomorphisme de transposition dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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