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Epreuve Orale 7108

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On note $E=\{f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{C})\ /\  f(0)=f(1)=0\}$ et $F$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$.

1) Montrer que $\phi: \, f \mapsto f''$ est un isomorphisme de $E$ dans $F$.

2) Soit $g \in F$. On pose

                              $\forall x\in [0,1],\ G(x)=\displaystyle\int_0^1|x-t|g(t) \, \mathrm dt$. 

    Montrer que $G$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et calculer $G''$.

3) Déterminer une fonction continue $k$ telle que:

                        $\phi^{-1}(g)(x)=\displaystyle\int_0^1k(x,t)g(t) \, \mathrm dt$.

4) Existence et valeur de $\sup\limits_{\|  g \| _{\infty} \leqslant 1} \| \phi^{-1}(g) \| _{\infty}$.

 

$\ex 2$

Déterminer la trace et le déterminant de l'endomorphisme de transposition dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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