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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :
Énoncé(s) donné(s)
La longueur d'un intervalle $]a,b[$ est $b-a$ et est notée $\text{lg}(]a,b[)$.
Une partie $A \subset \mathbb{R} $ est de type MN si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe une famille $(I_n)_{n\in\N}$ d'intervalles ouverts telle que $A \subset \bigcup_{n\in\N} I_n$ et $\sum_{n=0}^{+\infty}\text{lg}(I_n) \leqslant \epsilon$.
1. a) Montrer que $\mathbb{N}$ est de type MN.
b) Montrer que toute union dénombrable de parties de type MN est de type MN.
2. Montrer que tout ouvert non vide de $\mathbb{R}$ est réunion dénombrable et disjointe d'intervalles ouverts.
3. Dernière question où il fallait montrer qu'un ensemble était de type MN (non faite).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Lorsque l'on utilise des séries convergentes (dans des inégalités notamment), l'examinateur ne voulait que des séries dont la somme peut être exprimés simplement (type séries géométriques) et ne voulait pas non plus de $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ qui a priori n'est pas explicitement au programme.
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