Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{ Maths 2 }\vphantom |}$ (en utilisant $\tt Python$ et des fiches sur les modules pour les matrices et les polynômes)

Soit $n$ un entier naturel et $V=\mathbb{C}_n[X]$.

Pour $g= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on note pour tout polynôme $P$,

              $P_g= (-cX+a)^nP\left(\dfrac{-dX+b}{-cX+a}\right)$.

Soit $\phi_g$ l'application qui à $P$ associe $P_g $.

1. a) Montrer que $\phi_g$ est un endomorphisme de $V$.
    b) Écrire une fonction $\tt action(g,P)$ qui retourne $P_g$ (on pourra utiliser le module $\tt Polynomial$).
        On donnait un exemple et le résultat attendu pour vérifier le fonctionnement.
    c) Écrire une fonction $\tt mat(g)$ qui renvoie la matrice de $\phi_g$ dans la base canonique.
       La lancer sur $S$, $U$ et $T$, calculer les valeurs propres à chaque fois (matrices simples données au début, avec que des $0,1$ et $-1$)

2. a) Soit $\rho$ l'application qui à g associe $\phi_g$. Montrer que c'est un morphisme de groupes entre $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ et $\mathrm{GL}(V)$.
    b) Déterminer son noyau

► Suite non traitée, une question dans 2) + une partie 3

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers