Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Si $\sigma \in \mathcal S_n$ on note $P_{\sigma}$ la matrice de permutation associée (ie en notant $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$, la matrice de l'application linéaire qui à $e_i$ associe $e_{\sigma(i)}$).

Montrer qu'il y a équivalence entre:

• $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées
• $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables

Il restait du temps, l'examinateur m'a donc demandé de calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $P_{\sigma}$, en fonction des $c_i(\sigma)$, nombre de cycles de longueur $i$ dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers