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Année : 2022
Filière : MP
Concours : ENS (non PSI)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :
Énoncé(s) donné(s)
Soit $\| . \|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$.
Montrer qu'il existe une base $(e_1, \dots, e_n)$ unitaire pour cette norme, telle qu'il existe une autre base $(f_1,\dots, f_n)$ vérifiant :
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Chercher à maximiser l'application qui à une famille de n vecteurs associe son déterminant dans la base canonique sur $\{(a_1,\dots, a_n) \in (\mathbb{R}^n)^n \, | \, \| a_i \| \leqslant 1\}$. Prendre la famille atteignant ce max comme $(e_1,\dots, e_n)$ (justifier qu'elle est unitaire).
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