Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 7101

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Soit $\| . \|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$.

Montrer qu'il existe une base $(e_1, \dots, e_n)$ unitaire pour cette norme, telle qu'il existe une autre base $(f_1,\dots, f_n)$ vérifiant :

  • $<f_i,e_j>=\delta_{i,j}$
  • $\sup\limits_{\| u \| \leqslant 1} \langle f_i,u\rangle=1 $

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Chercher à maximiser l'application qui à une famille de n vecteurs associe son déterminant dans la base canonique sur $\{(a_1,\dots, a_n) \in (\mathbb{R}^n)^n \, | \, \| a_i \| \leqslant 1\}$. Prendre la famille atteignant ce max comme $(e_1,\dots, e_n)$ (justifier qu'elle est unitaire).

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