Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 7079

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : PSI

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Fonction définie par une intégrale - Intégrale à paramètres - Intégrale de Gauss - Matrice compagnon - Réduction de matrice

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:

Pour tout $x\in \R$, on pose $F(x)=$$\int_0^1$$\frac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}$$dt$

1) Montrer que F est $C^1$ sur un intervalle $I$ à déterminer

2) En déduire que$\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\ dt=\frac{\sqrt \pi}{2}$

Exercice 2:

Soient $(a_0,a_1,......,a_{n-1})$$\in$$\C^n$

On pose, $A=$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &  . & . & . &. & 0 & {-a_0}\\ 1 & 0 & 0 & .&. &. &. & 0 & {-a_1 } \\ 0 & 1 & 0 & . &. &.&.&0& {-a_2} \\ . & . & . & .& . &.&. & . &  . \\ . & . & . & .& . &.&. & . &  . \\ . & . & . & .& . &.&. & . &  . \\ . & . & . & .& . &.&. & . &  .\\ . & .& . &.&. & . &  . & 0 & {-a_{n-2}} \\ . &. &. &.&.&.&. & 1 & {-a_{n-1}}  \end{pmatrix}$

1) Déterminer $\chi_A$

2) Montrer que: $A$ diagonalisable $\Longleftrightarrow$ $\chi_A$ scindé à racines simples. Pour le sens direct on montrera l'implication par deux méthodes différentes 

 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour l'exercice 1, la question 2, poser la fonction $h(x)=$$\int_0^x$$exp(-t^2)$$dt$
Pour l'exercice 2, la question 2, pour une méthode on étudiera le rang de la matrice $A$

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