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Année : 2022
Filière : PSI
Concours : Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Fonction définie par une intégrale - Intégrale de Gauss - Intégrales à paramètres - Matrice compagnon - Réduction de matrice
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Pour tout $x\in \R$, on pose $F(x)=\displaystyle\int_0^1\frac{\exp(-x^2(1+t^2))}{1+t^2}\,\mathrm dt$.
1) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle $I$ à déterminer.
2) En déduire que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\,\mathrm dt=\frac{\sqrt \pi}{2}$
$\ex 2$
Soient $(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})\in\C^n$.
On pose $A=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_0 \\
1 & \ddots & & \vdots & -a_1 \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix} $.
1) Déterminer $\chi_A$
2) Montrer que: $A$ est diagonalisable $\Longleftrightarrow$ $\chi_A$ est scindé à racines simples.
Pour le sens direct on montrera l'implication par deux méthodes différentes.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 1, la question 2, poser la fonction $h(x)=$$\int_0^x\exp(-t^2)\,\mathrm dt$
Pour l'exercice 2, la question 2, pour l'une des méthodes, on étudiera le rang de la matrice $A$
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