Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On pose $S(x) =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}$ pour tout $x>0$.

1. Justifier l'existence et le caractère $\mathcal C^1$ de $S$, puis donner une expression de $S'(x)\vphantom{\displaystyle\int}$.
2. En déduire la monotonie de $S$.
3. Montrer que $S(x+1)+S(x) = \dfrac{1}{x}$ pour tout $x>0$ et en déduire un équivalent simple de $S$ en $0^+$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Aucune indication.

Commentaires divers
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