Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Si $H, K \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $f_{H,K}(Z)=HZ+K\overline{Z}$ pour $Z \in \mathbb{C}^n$.

1. Montrer l'équivalence entre :
       (i)  $f_{H,K}^2=-\textbf{id}_{\mathbb{C}^n}$
       (ii) $H^2+K\overline{K}=-I_n$ et $HK+K\overline{H}=0$ (*)
 2. Si $(H,K)$ est proche de $(iI_n,0)$, montrer que (*) équivaut à : "il existe une unique $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ "proche de 0" telle que $f_{H,K}=f_{I_n,B}f_{iI_n,0}f_{I_n,B}^{-1}$"

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pas grand chose, j'ai essentiellement avancé seule.

Commentaires divers

Correspondait à ce que j'avais entendu d'un oral de l'X : l'examinateur attend qu'on dirige l'exo et ne nous aide pas trop. L'exo n'est pas très intéressant.