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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Déterminant de Vandermonde - Matrice inversible - Polynômes
Énoncé(s) donné(s)
Pour $(c_1\cdots c_n)\in\mathbb{C}^n$, on définit
$$V(c_1\cdots c_n) = \begin{pmatrix}
1&c_1&\cdots &c_1^{n-1}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
1&c_n&\cdots &c_n^{n-1}\\
\end{pmatrix}$$
1- Déterminer $det\;\left ( V(c_1\cdots c_n)\right )$. A quelle condition $V(c_1\cdots c_n)$ est-elle inversible ?
On introduit les éléments suivants :
\begin{eqnarray*}
S_k &=& \displaystyle\sum_{\begin{subarray}{l}{(i_1\cdots i_k)\in [\![1,n]\!]^k}\\ {i_1<i_2\cdots<i_k}\end{subarray}}c_{i_1}\cdots c_{i_k}\\
V_{i,j}(c_1\cdots c_n) &=& \begin{pmatrix}
1&c_1&\cdots &c_{1}^{i-1} & &c_{1}^{i+1}&\cdots & c_1^{n-1}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
1&c_{j-1}&\cdots &c_{j-1}^{i-1} & &c_{j-1}^{i+1}&\cdots & c_{j-1}^{n-1}\\
1&c_{j+1}&\cdots &c_{j+1}^{i-1} & &c_{j+1}^{i+1}&\cdots & c_{j+1}^{n-1}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
1&c_{n}&\cdots &c_{n}^{i-1} & &c_n^{i+1}&\cdots & c_{n}^{n-1}\\
\end{pmatrix}\\
V_i(c_1\cdots c_n)&=&\begin{pmatrix}
1&c_1&\cdots &c_{1}^{i-1} & &c_{1}^{i+1}&\cdots & c_1^{n}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
1&c_{n}&\cdots &c_{n}^{i-1} & &c_n^{i+1}&\cdots & c_{n}^{n}\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
2- a) Déterminer la forme développée de $\displaystyle\prod_{i=1}^n (X-c_i)$.
b) En déduire $det\; V_i(c_1\cdots c_n)$.
3- Dans le cas où $V(c_1\cdots c_n)$ est inversible, déterminer son inverse.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Je ne suis pas sûr de l'expression de $\; V_{i,j}(c_1\cdots c_n)$, n'ayant pas eu le temps de l'utiliser durant l'oral.
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