Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 7069

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Déterminant de Vandermonde - Matrice inversible - Polynômes

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Pour $(c_1\cdots c_n)\in\mathbb{C}^n$, on définit
$$V(c_1\cdots c_n) = \begin{pmatrix}
                        1&c_1&\cdots &c_1^{n-1}\\
                        \vdots & \vdots & &\vdots\\ 
                        1&c_n&\cdots &c_n^{n-1}\\
                        \end{pmatrix}$$


1- Déterminer $det\;\left ( V(c_1\cdots c_n)\right )$. A quelle condition $V(c_1\cdots c_n)$ est-elle inversible ?
 
  On introduit les éléments suivants : 

\begin{eqnarray*}
S_k &=& \displaystyle\sum_{\begin{subarray}{l}{(i_1\cdots i_k)\in [\![1,n]\!]^k}\\ {i_1<i_2\cdots<i_k}\end{subarray}}c_{i_1}\cdots c_{i_k}\\
V_{i,j}(c_1\cdots c_n) &=& \begin{pmatrix}
                        1&c_1&\cdots &c_{1}^{i-1} & &c_{1}^{i+1}&\cdots & c_1^{n-1}\\
                        \vdots & \vdots & &\vdots\\ 
                        1&c_{j-1}&\cdots &c_{j-1}^{i-1} & &c_{j-1}^{i+1}&\cdots & c_{j-1}^{n-1}\\
                        1&c_{j+1}&\cdots &c_{j+1}^{i-1} & &c_{j+1}^{i+1}&\cdots & c_{j+1}^{n-1}\\
                        \vdots & \vdots & &\vdots\\ 
                        1&c_{n}&\cdots &c_{n}^{i-1} & &c_n^{i+1}&\cdots & c_{n}^{n-1}\\
                        \end{pmatrix}\\ 
                        V_i(c_1\cdots c_n)&=&\begin{pmatrix}
                        1&c_1&\cdots &c_{1}^{i-1} & &c_{1}^{i+1}&\cdots & c_1^{n}\\
                        \vdots & \vdots & &\vdots\\ 
                    1&c_{n}&\cdots &c_{n}^{i-1} & &c_n^{i+1}&\cdots & c_{n}^{n}\\
                        \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

2- a) Déterminer la forme développée de $\displaystyle\prod_{i=1}^n (X-c_i)$.
    b) En déduire $det\; V_i(c_1\cdots c_n)$.

3- Dans le cas où $V(c_1\cdots c_n)$ est inversible, déterminer son inverse.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 

Commentaires divers

Je ne suis pas sûr de l'expression de $\; V_{i,j}(c_1\cdots c_n)$, n'ayant pas eu le temps de l'utiliser durant l'oral.

Commentaires

Aucun commentaire posté pour le moment