Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $M$ la courbe paramétrée par $x(t) = (1+ \cos t)\cos t$ et $y(t) = (1 + \cos t)\sin t$.

1. Soit $g$ la fonction définie par $g(t) = \cos^2 t - \sin^2 t + \cos t$.
   a) Étudier les variations de $g$ sur $[0, \pi]$. On posera $\alpha \in [\pi/2, \pi]$ tel que $\cos(\alpha) = -1/4$. (On ne demande pas de calculer $\alpha$.)
   b) Montrer que $g(t) > 0$ pour tout $t \in [0, \pi/3[$ et $g(t) < 0$ pour tout $t \in ]\pi/3, \pi]$.
2. a) Pourquoi peut-on réduire l'étude de la courbe à l'intervalle $[0, \pi]$ ?
   b) Dresser le tableau de variations de $x$ et $y$.
3. a) Exprimer la longueur de $M$ sous forme d'une intégrale.
   b) La calculer grâce à python.
4. a) Calculer $M^\prime(\pi)$ et $M^{\prime\prime}(\pi)$.
   b) Quel est le nom de $M(\pi)$ ?
5. Tracer $M$ en faisant apparaître certaines tangentes.