Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1. Soit $ h : \R\longrightarrow \R$ continue. A l'aide du changement de variables $\left\lbrace\begin{array}{c}x=u+v\\y=u-v\end{array}\right.$, déterminer les fonctions $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que : $\dfrac{\partial f}{\partial x}-\dfrac{\partial f}{\partial y}=h(3x+y)$.

2. En adaptant le changement de variables précédent, déterminer les fonctions $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que : $\dfrac{\partial f}{\partial x}=3\dfrac{\partial f}{\partial y}$.

3. En déduire les solutions de : $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}-4\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+3\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$, avec  $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^2$.

$\ex 2$

Posons $A=\left(\begin{array}{rrr} 0&-1&-1\\-2&1&1\\-2&1&3\end{array}\right)$ et pour tout $n\in \N$, $t_n=\operatorname{Tr}(A^n)$.

1. Calculer $t_n$.

2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum t_n z^n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers