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Epreuve Orale 7059

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : PSI

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Equation aux dérivées partielles - Matrice - Série entière

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

1. Soit $ h : \R\longrightarrow \R$ continue. A l'aide du changement de variables $\left\lbrace\begin{array}{c}x=u+v\\y=u-v\end{array}\right.$, déterminer les fonctions $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que : $\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=h(3x+y)$.

2. En adaptant le changement de variables précédent, déterminer les fonctions $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que : $\frac{\partial f}{\partial x}=3\frac{\partial f}{\partial y}$.

3. En déduire les solutions de : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-4\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+3\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$, avec  $ f : \R^2\longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^2$.

 

Exercice 2 :

Posons $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\-2&1&1\\-2&1&3\end{pmatrix}$ et pour tout $n\in \N$, $t_n=Tr(A^n)$.

1. Calculer $t_n$.

2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum t_n z^n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 

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