Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$  (avec préparation)

Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\R$-e.v. $E$ de dimension finie, $\alpha$ et $\beta$ deux réels non nuls distincts et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que :

          $f=\alpha u+\beta v\quad,\quad f^2=\alpha^2 u+\beta^2 v\quad,\quad f^3=\alpha^3 u+\beta^3 v$.

1. Montrer que $f$ est diagonalisable.

2. ?

$\ex 2$  (sans préparation)

On note $E=\mathcal{C}^1(\R^2, \R)$ et $F=\mathcal{C}^0(\R^2, \R)$. Soit $a$ et $b$ deux réels. On note :

      $\varphi : \left\lbrace\begin{array}{l}E\longrightarrow F\\f\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}-af\end{array}\right.\ $ et $\ \psi : \left\lbrace\begin{array}{l}E\longrightarrow F\\f\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial y}-bf\end{array}\right.$

1. On pose : $f(x,y)=\mathrm e^{ax}\displaystyle\int_0^x A(t,y)e^{-at}\,\mathrm d t$ avec $A\in E$. Justifier l'existence des dérivées partielles de $f$ et les calculer.

2. Soit

          $U=\lbrace f\in E\, /\, \exists\, \alpha \in \mathcal{C}^1(\R, \R), \forall (x,y)\in \R^2, f(x,y)=\alpha(y)\mathrm e^{ax}\rbrace\ $

          $V=\lbrace f\in E\, /\, \exists\, \beta \in \mathcal{C}^1(\R, \R), \forall (x,y)\in \R^2, f(x,y)=\beta(x)\mathrm e^{ay}\rbrace\ $.

Montrer que $\ker(\varphi)=U$ et $\ker(\psi)=V$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers