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Année : 2022
Filière : PSI
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Inégalité de Cauchy-Schwarz - Intégrale - Produit scalaire
Énoncé(s) donné(s)
On note $I=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ et $E=\mathcal{C}^0(I,\R)$. On munit $E$ du produit scalaire usuel : $\langle f,g \rangle =\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(t) g(t)\,\mathrm dt$.
Pour $f \in E$, on définit deux fonctions $A(f)$ et $B(f)$ sur $I$ en posant :
$A(f)(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm dt\ $ et $\ B(f)(x)=\displaystyle\int_x^{\pi/2} f(t) \,\mathrm dt$.
1. Montrer que : $\forall (f,g)\in E^2, \langle A(f),g\rangle=\langle f, B(g)\rangle$.
En déduire que les valeurs propres de $B\circ A$ sont toutes positives.
2. Montrer que : $\forall f \in E,\, \forall x \in I,\ (A(f)(x))^2\leqslant x \displaystyle\int_0^x f(t)^2\,\mathrm dt$.
En déduire l'existence d'un réel $K$ indépendant de $f$ tel que : $\|A(f)\|\leqslant K\|f\|$.
3. Montrer que $A$ est un endomorphisme continu de $E$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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