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Epreuve Orale 7056

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : PSI

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Inégalité de Cauchy-Schwarz - Intégrale - Produit scalaire

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

On note $I=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ et $E=\mathcal{C}^0(I,\R)$. On munit $E$ du produit scalaire usuel : $\langle f,g \rangle =\int_0^{\pi/2}f(t) g(t) dt$.

Pour $f \in E$, on définit deux fonctions $A(f)$ et $B(f)$ sur $I$ en posant : $A(f)(x)=\int_0^x f(t) dt\ $ et $\ B(f)(x)=\int_x^{\pi/2} f(t) dt$.

1. Montrer que : $\forall (f,g)\in E^2, \langle A(f),g\rangle=\langle f, B(g)\rangle$.

En déduire que les valeurs propres de $B\circ A$ sont toutes positives.

2. Montrer que : $\forall f \in E, \forall x \in I, (A(f)(x))^2\leq x \int_0^x f(t)^2 dt$.

En déduire l'existence d'un réel $K$ indépendant de $f$ tel que : $\|A(f)\|\leq K\|f\|$.

3. Montrer que $A$ est un endomorphisme continu de $E$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 

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