Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 2 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & 2 & c_3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in$ $\mathcal M_4(\R)$.

1) $A$ est-elle diagonalisable ? Sous quelles conditions ? La diagonaliser.

2) Matrice cette fois-ci trigonalisable avec le même raisonnement, je ne m'en souviens plus...

$\ex 2$

Soit $F(x)= \displaystyle\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2t}}{x + t} \, \mathrm dt$.

1) Existence et continuité de $F$ sur ]0,+$\infty$[.

2) Calculer la limite en +$\infty$ de $xF(x)$.
     On pourra calculer la limite de $x_nF(x_n)$ avec $(x_n)$ suite quelconque telle que $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=+\infty$.

3) Donner un équivalent de $F(x)$ quand $x\to+\infty$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 : Bien mettre en place les conditions de diagonalisation et enlever celles non nécessaires.
Exercice 2 : Pour dominer lors de l'application du théorème de continuité, se placer sur $[a,b]$ avec $a,b>0$.

Commentaires divers
J'ai commencé par l'exercice 2 et je n'ai pas réussi à trouver l'équivalent alors que l'exercice 1 était beaucoup plus simple, les exercices de diagonalisation de matrices explicites sont souvent simples, ils sont à privilégier par rapport à des exercices utilisant plusieurs théorèmes importants des intégrales à paramètres, longs à énoncer.