Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$

On définit une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur l'intervalle $[0, 1]$, à valeurs réelles en prenant $f_0 : x \mapsto 1$ puis

                        $\forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in [0, 1], \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) + \dfrac{1}{2} \left( x - f_n(x)^2 \right).$

1. Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $[0, 1]$ vers la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$.
2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in [0, 1]$, prouver l'encadrement

                           $0 \leqslant  f_n(x) -\sqrt{x} \leqslant \sqrt{x} \left( 1 - \dfrac{\sqrt{x}}{2} \right)^n$.

3. Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ vers la fonction $f$.

$\ex 2$

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $3$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$.
On suppose que $u^3 = 0$ et $u^2 \neq 0$.

Déterminer les endomorphismes qui commutent avec $u$.