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Année : 2022
Filière : PC
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve :
Soit $p \in \, ]0, 1[$. On considère des cellules susceptibles de se diviser en deux (avec une probabilité $p$) ou de mourir (avec une probabilité $1-p$).
On suppose qu'il y a exactement une cellule à la génération $0$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de cellules à la génération $n$. En particulier, la variable aléatoire $X_0$ vaut $1$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $g_n$ la fonction génératrice de $X_n$.
1. Déterminer les lois de $X_1$ et $X_2$.
2. Déterminer l'univers image $X_n(\Omega)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in [0, 1]$, montrer l'égalité $g_{n+1}(t) = g_n(g_1(t))$.
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