Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On pose : $\forall n\in\N,\ u_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {\mathrm e^{-t}t^n}{\sqrt t}\,\mathrm dt$.

1) Montrer que $u_n$ est bien définie.
2) Calculer $u_n$.

$\ex 2$

Soit $D$ l’opérateur de dérivation dans $\R_{n}[X],\ n\geqslant 1$.

1) Trouver son polynôme caractéristique.
2) Montrer qu’il n’existe pas d’application $f$ telle que $f^2 = D.$

Indications
Je n’en ai personnellement pas eu besoin. Il n'y avait aucune indication sur l'énoncé. Ce sont des pistes pour résoudre les exercices.
• Exercice 1: Trouver une relation de récurrence avec une IPP et utiliser
la technique classique consistant à multiplier par les entiers pairs en haut
et en bas le produit des impairs sur les pairs.
• Exercice 2
 1) Penser à calculer pour un vecteur de la base canonique $X^n$, puis à mettre $D$ sous forme matricielle.
2) Utiliser le Théorème de Cayley Hamilton sur $D$ et arriver à une contradiction sur l’indice de nilpotence de $D$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

• int_grale_g_n_ralis__et_endomorphsme_de_d_rivation.pdf