Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$  n° 28 de la Banque CCINP

$\ex 2$

On note $E=\R_n[X]$. Soient $F$ et $G$ deux polynômes de degré $n+1$. On note $f$ l'application qui à un polynôme $P$ de $E$ associe le reste de la division euclidienne de $FP$ par $G$.
1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Dans quels cas $f$ est-il un automorphisme de $E$ ? (on pourra distinguer les cas où $F$ et $G$ sont premiers entre eux ou non)
3. On suppose que $F$ et $G$ sont premiers entre eux et que $G$ est scindé à racines simples.
     Trouver les valeurs propres de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers