Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $(Y_n)$ une suite de matrices réelles $2\times 2$ de déterminant $1$. On suppose que :

(1)  $\dfrac 1n \ln \|Y_nY_{n-1}\cdots Y_1\| \longrightarrow \gamma > 0$

(2)  Il existe $C>0$ tel que :$ \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad \|Y_n\| \leqslant C$

On pose : $\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \|Ax\|$.

Montrer qu'il existe $v\neq 0$ tel que :

$$\frac 1n \ln \|Y_nY_{n-1}\cdots Y_1v\| \longrightarrow -\gamma$$

[On pourra considérer les directions propres de $M_n^*M_n$ avec $M_n = Y_nY_{n-1}\cdots Y_1 $]

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pas d'indications en plus au cours de l'oral.

Commentaires divers

Oral ULM (55 minutes)

L'examinatrice m'a laissé travailler seul durant $10$ minutes au début de l'épreuve. 

On a (ce n'était pas précisé, mais j'ai demandé pour confirmer) $M_n^* =\, ^tM_n$

L'examinatrice m'a demandé le début de la preuve de $\|Y^n\|^{\frac 1n} \longrightarrow \rho(Y)$ (jusqu'à l'utilisation du lemme de Fekete).

L'examinatrice était très agréable.