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Année : 2022
Filière : PSI
Concours : X-ENS Cachan (PSI)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Dénombrement - Intégrales à paramètres - Série
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Si $(p,q)\in\N^2$, on note $I_{p,q}=\displaystyle\int_0^1x^p\ln^qx\,\mathrm dx$.
1. Montrer l'existence de $I_{p,q}$.
2. Calculer $I_{p,q}$.
3. Après avoir justifié l'existence des deux membres, justifier l'égalité :
$\displaystyle\int_0^1\frac 1{x^x}\,\mathrm dx=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac 1{m^m}$.
$\ex 2$
Soit $n\geqslant 2$ entier. Soit $r\in\{1,\dots,n\}$. On note :
$a\in F \Leftrightarrow \forall i,j\in [\![1,r]\!],\ i\neq j\Rightarrow |a_i-a_j|>1$
1. Montrer que $E$ et $F$ ont le même cardinal.
2. On possède $49$ boules numérotées de $1$ à $49$ et on en prend $4$ simultanément.
a) Quelle est la probabilité qu'au moins $2$ des $4$ boules aient des numéros consécutifs ?
b) Quelle est la probabilité qu'exactement $2$ des $4$ boules aient des numéros consécutifs ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 1 de l'exercice 2, on pourra chercher à créer une bijection de $E$ dans $F$.
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