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Epreuve Orale 6630

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : PSI

Concours : X-ENS Cachan (PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Dénombrement - Intégrale à paramètre - Série

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Si $(p,q)\in\N^2$,  on note $I_{p,q}=\displaystyle\int_0^1x^p\ln^qx\,\mathrm dx$.

1. Montrer l'existence de $I_{p,q}$.
2. Calculer $I_{p,q}$.
3. Après avoir justifié l'existence des deux membres, justifier l'égalité :

                                     $\displaystyle\int_0^1\frac 1{x^x}\,\mathrm dx=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac 1{m^m}$.

 

$\ex 2$

Soit $n\geqslant 2$ entier. Soit $r\in\{1,\dots,n\}$. On note :

  • $E$ l'ensemble des parties de $\{1,\dots,n\}$ de cardinal $r$.
  • $F$ l'ensemble des parties de $\{1,\dots,n+r-1\}$ n'ayant aucun terme consécutif.
    Plus précisément, pour $a=\{a_1,\dots,a_r\}$ sous-ensemble de $\{1,\dots,n+r-1\}$ avec $a_1<\dots<a_r$ :

                                 $a\in F \Leftrightarrow \forall i,j\in [\![1,r]\!],\ i\neq j\Rightarrow |a_i-a_j|>1$

1. Montrer que $E$ et $F$ ont le même cardinal.

2. On possède $49$ boules numérotées de $1$ à $49$ et on en prend $4$ simultanément.

     a) Quelle est la probabilité qu'au moins $2$ des $4$ boules aient des numéros consécutifs ?

     b) Quelle est la probabilité qu'exactement $2$ des $4$ boules aient des numéros consécutifs ?

 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 1 de l'exercice 2, on pourra chercher à créer une bijection de $E$ dans $F$.


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