Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$  (Espaces préhilbertiens)

Soit $E$ un espace préhilbertien et $\phi $ une forme bilinéaire symétrique positive, non nécessairement définie positive, et telle que

                  $ \exists\, C>0, \forall (x,y) \in E^2,  |\phi(x,y)| \leqslant C \|x\| \times \|y\| $.

On note $(*)$ la proposition:  $\exists \alpha >0, \forall x \in E, |\phi(x,x)| \geqslant \alpha \|x\|^2 $.

(1) Montrer que si $E$ est de dimension finie, alors: $(*)  \Leftrightarrow  \phi$ est définie positive.
(2) On suppose que $E$ est de dimension infinie et qu'il existe $(e_n)$ une suite orthornormale totale de $E$.
      (a) Construire $\phi$ bilinéaire symétrique définie positive telle que

                       $ \exists C>0, \forall (x,y) \in E^2,  |\phi(x,y)| \leqslant c \|x\| \times \|y\| $

             mais qui ne vérifie pas $(*)$ 
      (b) Conclure que la boule unité fermée n'est pas compacte.

$\ex 2$  (Séries)

(1) Soit $(p_n)$ une suite croissante d'entiers avec $p_n\geqslant 2$.
       Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{p_1 ... p_n}$ converge et que sa somme appartient à $]0,1]$.
(2) Soit $x\in\left]0,1\right]$. Montrer qu'il existe une unique suite croissante d'entiers supérieurs ou égaux à 2 tel que $x = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{p_1 ... p_n}$

(3) Montrer que $x$ est rationnel si, et seulement si, $(p_n)$ est stationnaire.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1  (2)(a) : Chercher une condition suffisante simple sur $|\phi(e_n, e_n)|$.
Exercice 2   (2) : Déterminer l'expression de $p_1$, puis répéter le raisonnement. 

Commentaires divers

15 min de préparation pour essayer le 1er exercice,  et 50 min de passage à l'oral.
L'examinateur était attentif à mes propositions. Il a mis l'accent sur l'autonomie au début du 2ème exercice.
Il ne m'a pas laissé sortir de la salle avec l'énoncé.