Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$

On considère l'endomorphisme $f : P \mapsto P - P'$ de $\mathbb{R}_n[X]$.

1. Montrer que $f$ est bijectif.

2. Écrire la matrice de $f$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.

3. Étudier la diagonalisabilité de $f$.

$\ex 2$

En appliquant le théorème des accroissements finis, prouver l'encadrement

                        $ \forall x \in \, ]0, +\infty[, \quad \dfrac{x}{1 + x^2} < \arctan x < x. $