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Année : 2022
Filière : PC
Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Accroissements finis - Analyse réelle - Endomorphisme de polynômes
$\ex 1$
On considère l'endomorphisme $f : P \mapsto P - P'$ de $\mathbb{R}_n[X]$.
1. Montrer que $f$ est bijectif.
2. Écrire la matrice de $f$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.
3. Étudier la diagonalisabilité de $f$.
$\ex 2$
En appliquant le théorème des accroissements finis, prouver l'encadrement
$ \forall x \in \, ]0, +\infty[, \quad \dfrac{x}{1 + x^2} < \arctan x < x. $
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