Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $a_n = \displaystyle \int_1^{+\infty} \text{e}^{-x^n} \, \text{d} x$.

Trouver un équivalent de $a_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

$\ex 2$

Soit $A \in \mathcal{M}_{3 n}(\mathbb{R})$. On suppose que $A^3 = 0$ et que $\text{rg}(A) = 2 n$.

Montrer qu'il existe $P \in GL_{3 n}(\mathbb{R})$ telle que

$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ I_n & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \end{pmatrix}. $$