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Année : 2022
Filière : PC
Concours : Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégrale généralisée - Réduction de matrice
$\ex 1$
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $a_n = \displaystyle \int_1^{+\infty} \text{e}^{-x^n} \, \text{d} x$.
Trouver un équivalent de $a_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
$\ex 2$
Soit $A \in \mathcal{M}_{3 n}(\mathbb{R})$. On suppose que $A^3 = 0$ et que $\text{rg}(A) = 2 n$.
Montrer qu'il existe $P \in GL_{3 n}(\mathbb{R})$ telle que
$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ I_n & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \end{pmatrix}. $$
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