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Epreuve Orale 6619

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Base - Valeurs propre

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$  Exercice n° 31 de la Banque CCINP.

 

$\ex 2$

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant : $f^2 = -\text{Id}_E$.

1) Montrer que $f$ n'admet pas de valeur propre réelle et montrer que $f$ est bijectif.
2) En déduire que la dimension de $E$ est paire.
3) Soit $u$ un vecteur non nul. Montrer que $\text{Vect}(u, f(u))$ est stable par $f$.
4) On prend $n = 4$. Montrer l'existence de deux vecteurs $u,v$ tels que $(u, f(u), v, f(v))$ soit une base de $E$. 
5) Généraliser ce résultat.

 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Commentaires

mo18
29/06/2022 à 00:38

Reponse de la 2eme qst?

 

mo18
29/06/2022 à 00:52

Reponse de la 2eme qst?

 

matt63
29/06/2022 à 07:06

Pour la seconde question, on passe au déterminant dans la relation $f^2=-\text{Id}_E$. Si $n$ est la dimension de $E$, on obtient alors $(-1)^n=(\det f)^2\geqslant 0$, donc $n$ est pair.