Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$  Exercice n° 31 de la Banque CCINP.

$\ex 2$

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant : $f^2 = -\text{Id}_E$.

1) Montrer que $f$ n'admet pas de valeur propre réelle et montrer que $f$ est bijectif.
2) En déduire que la dimension de $E$ est paire.
3) Soit $u$ un vecteur non nul. Montrer que $\text{Vect}(u, f(u))$ est stable par $f$.
4) On prend $n = 4$. Montrer l'existence de deux vecteurs $u,v$ tels que $(u, f(u), v, f(v))$ soit une base de $E$. 
5) Généraliser ce résultat.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers