Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Pour tout $x \in [0, 1[$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $t_n(x) = \lfloor 3^n x\rfloor - 3 \times \lfloor 3^{n-1} x \rfloor$.

On note $T$ l'ensemble des suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ dont tous les termes sont dans $\{ 0, 1, 2 \}$.

Pour toute suite $u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ élément de $T$, on pose

$$ \sigma(u)  = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{u_n}{3^n}.$$

1. Montrer que la fonction $\sigma$ est bien définie.

2. On définit deux éléments $u$ et $v$ de $T$ par

$$ u_n = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si } n = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \quad \text{et} \quad v_n = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{si } n = 1 \\ 2 & \text{sinon.} \end{array} \right. $$

À l'aide de ces deux suites, étudier l'injectivité de $\sigma$.

3. Pour tout $x \in [0, 1[$, montrer que $(t_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*} \in T$.

4. Écrire une fonction en Python qui prend en entrée $x$ et $N$ et renvoie la somme partielle $\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{t_n(x)}{3^n}$.

5. Représenter graphiquement cette somme partielle pour $N = 100$. Que peut-on conjecturer ?