Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

On définit la fonction $a_0 : t \mapsto 1$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $t \in \, ]-2, 2[$, on pose

$$ a_n(t) = \prod_{j=1}^n (1 - t 2^{-j}).$$

1. Montrer que la suite de fonctions $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $]-2, 2[$. Sa limite simple est notée $L$.

Indication : passer au logarithme.

2. Montrer que la fonction $L$ est à valeurs strictement positives.

3. Montrer que le système ci-dessous admet une unique solution

$$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc}  x_1 & + & x_2 & + & \cdots & + & x_n & = & 1 \\  x_1 & + & 2 x_2 & + & \cdots & + & 2^n x_n & = & -1 \\  \vdots & & & & & & & = & \vdots \\  x_1 & + & 2^n x_2 & + & \cdots & + & 2^{n^2} x_n & = & (-1)^n \end{array} \right. $$

4. Écrire en Python des fonctions qui renvoient les résultats suivants :

• la liste $[a_0(t), \ldots, a_n(t)]$ ;
• la matrice associée au membre de gauche du système ci-dessus ;
• la matrice colonne associée au membre de droite du système ci-dessus.