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Année : 2022
Filière : PC
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Python - Suite de fonctions
On définit la fonction $a_0 : t \mapsto 1$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $t \in \, ]-2, 2[$, on pose
$$ a_n(t) = \prod_{j=1}^n (1 - t 2^{-j}).$$
1. Montrer que la suite de fonctions $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $]-2, 2[$. Sa limite simple est notée $L$.
Indication : passer au logarithme.
2. Montrer que la fonction $L$ est à valeurs strictement positives.
3. Montrer que le système ci-dessous admet une unique solution
$$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 & + & x_2 & + & \cdots & + & x_n & = & 1 \\ x_1 & + & 2 x_2 & + & \cdots & + & 2^n x_n & = & -1 \\ \vdots & & & & & & & = & \vdots \\ x_1 & + & 2^n x_2 & + & \cdots & + & 2^{n^2} x_n & = & (-1)^n \end{array} \right. $$
4. Écrire en Python des fonctions qui renvoient les résultats suivants :
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