Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie. 

1. Soit $p$ un projecteur ($p$ linéaire et $p^2=p$). Montrer que $\operatorname{Ker}p\oplus \operatorname{Im}p=E$ et que $p$ est la projection sur $ \operatorname{Im}p$ de direction $\operatorname{Ker}p$.

2. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe $g\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f\circ g=0$ et $f+g\in \mathrm{GL}(E)$ si et seulement si $E=\operatorname{Ker}f\oplus \operatorname{Im}f$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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