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Epreuve Orale 6531

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul différentiel - Espaces euclidiens

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 2$

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^n$ (muni du produit scalaire habituel), à valeurs propres strictement positives.
 
1. Montrer que $\forall h\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}, \; \langle f(h),h\rangle >0$.

2. Soit $u\in\mathbb{R}^n$ fixé. On pose : $\forall x\in\mathbb{R}^n, \; g(x) = \dfrac{1}{2}\langle f(x),x\rangle - \langle u,x \rangle$.

    a. Montrer que $g$ est différentiable et calculer ${\rm d}g$.

    b. Montrer que $g$ admet un unique point critique $z_0$, et que $z_0=f^{-1}(u)$.

    c. Montrer que $g$ admet un minimum global en $z_0$.

       (On pourra étudier le signe de $g(z_0+h)-g(z_0)$ pour $h\in\mathbb{R}^n$.)

 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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