Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 2$

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^n$ (muni du produit scalaire habituel), à valeurs propres strictement positives.
 
1. Montrer que $\forall h\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}, \; \langle f(h),h\rangle >0$.

2. Soit $u\in\mathbb{R}^n$ fixé. On pose : $\forall x\in\mathbb{R}^n, \; g(x) = \dfrac{1}{2}\langle f(x),x\rangle - \langle u,x \rangle$.

    a. Montrer que $g$ est différentiable et calculer ${\rm d}g$.

    b. Montrer que $g$ admet un unique point critique $z_0$, et que $z_0=f^{-1}(u)$.

    c. Montrer que $g$ admet un minimum global en $z_0$.

       (On pourra étudier le signe de $g(z_0+h)-g(z_0)$ pour $h\in\mathbb{R}^n$.)

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers