Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ espace vectoriel euclidien, $u$ un endomorphisme orthogonal de $E$ (i.e. tel que $\forall x,y\in E,$ $\langle u(x),u(y)\rangle =\langle x,y\rangle$).
On considère $v=\text{id}_E-u$.
1. (a) Montrer que $\operatorname{Ker}v=(\operatorname{Im}v)^{\perp}$.
    (b) En déduire que $\operatorname{Ker}v$  et $\operatorname{Im}v$ sont des supplémentaires orthogonaux.
2. Soit $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\operatorname{Ker}v$.
    (a) Montrer que $p\circ u=u\circ p=p$.
    (b) Pour tout $x\in E$, montrer qu'il existe $y\in E$ tel que $p(x)=x+u(y)-y$.
    (c) En déduire que : $\ds\forall x\in E, \; \displaystyle p(x)=\lim \limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1} u^{k}(x) \right)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers