Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}$

On considère $f:x\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{x+{\operatorname{ch}}t}$. 

1. Montrer que $f$ définie sur $]-1,+\infty[$.
2. Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$.
3. Montrer l'existence et déterminer la valeur de la limite de $f$ en $+\infty$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}$
Pour tout matrice $M=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$ de ${\cal M}_n(\K)$, on pose $f(M) =\begin{pmatrix}
c & d \\
a & b
\end{pmatrix}$. 

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme  de ${\cal M}_2(\K)$.
2. $f$ est-il diagonalisable? Déterminer ses éléments propres.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers