Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom |}$

Soit $f \in \mathcal C^\infty(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$ . 

Montrer que $x\mapsto \dfrac{f(x)}{x}$ est prolongeable en une fonction de classe $\mathcal C^\infty$  sur $\R.$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom |}$

On considère $\R^n$ muni du produit scalaire usuel.
Montrer que $\begin{array}[t]{rccl}
\phi : & \mathcal M_n(\mathbb{R}) & \longrightarrow  & \mathbb{R}\\ 
 & A & \longmapsto & \sup\limits_{x\in \mathbb R^n,\|x\|=1}\langle x,Ax\rangle
\end{array}$
est définie et continue.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Il y a eu très peu d'indications.
Exercice 1 : écrire $f$ sous une autre forme
Exercice 2 : peut-on avoir mieux que le sup ?

Commentaires divers