Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E=\mathcal{L}^2([-1,1],\R)$ muni du produit scalaire $(f,g)\mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 f(t)g(t)\, \mathrm dt$ et de la norme associée.

• On dit que la suite $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge fortement vers $f$ si la suite $(\|f_n-f\|)_{n\in\mathbb N}$  converge vers $0$.
• On dit que la suite $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge faiblement vers $f$ si $\forall \varphi \in \mathcal  C^1([-1,1],\R),\ \langle f_n,\varphi\rangle\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}\langle f,\varphi\rangle$.

1. Montrer que si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, alors $(f_n)$ converge  fortement vers $f$.
   La réciproque est-elle vraie ?

2. Montrer que si $(f_n)$ converge fortement vers $f$, alors $(f_n)$ converge  faiblement vers $f$.

3. Montrer que si $(f_n)$ converge faiblement vers $f$ de classe $\mathcal C^1$ et si la suite $(\|f_n\|)$ converge vers $\|f\|$ alors $(f_n)$ converge fortement vers $f$.

4. Montrer que si $(\varphi_n)$ est une suite de fonctions $\mathcal C^1$ qui converge uniformément vers $\varphi$, si  $(\varphi'_n)$  converge aussi uniformément et si $(f_n)$ est une suite bornée qui converge faiblement vers $f$, alors $\langle f_n,\varphi_n\rangle\longrightarrow\langle f,\varphi\rangle$.

5. On pose $f_n: x\mapsto \sin nx$. Montrer que $(f_n)$ converge faiblement vers la fonction nulle.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Questions 2 et 4 : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Question 5 : Intégration par parties

Commentaires divers