Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $E$ euclidien de dimension $n$.
Soit $x_1,...,x_k \in E$ tels que $\forall i\not =j$, $\langle x_i,x_j\rangle\ <0$. Montrer que $k$ ne peut pas être trop grand et déterminer cette limite.

$\ex 2$

Soient $A,B$ deux variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $\{0,1,2\}$.

Soit $M=\begin{pmatrix}1&A-B&0\\0&A&A-1\\ 0& 0& B\end{pmatrix}$.

Trouver la probabilité que $M$ soit diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 :  "Vous êtes joueur ou je vous donne la limite ?"

Exercice 2 :  "Il y a XX cas : on va tous les faire"

Commentaires divers