Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence de série - Endomorphismes - Rang

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{|}}$

Soit $f : [1, +\infty [ \to \mathbb{R}^*_+$ telle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $.

1- Démontrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant1}f(n)$ converge.

2- Donner un équivalent du reste de la série en $+\infty$.

$\boxed{\textbf{Exercice 2}\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle{\int}}$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de rang $r$.

1- Démontrer que le degré de son polynôme minimal est au plus $r+2$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Il y avait des questions supplémentaires dans l'exercice 2.

Epreuve Orale 6503