Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : TSI

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Puissance de Matrice - Suites récurrentes

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Énoncé(s) donné(s)

Deux joueurs A et B s'affrontent lors d'un match de badminton selon les règles suivantes :

A commence à servir ;

le joueur qui gagne le point sert pour le point suivant ;

le joueur qui sert a probabilité $2/3$ de gagner le point et $1/3$ de le perdre.

Pour $n \in \mathbb N^*$, on note $A_n$ (resp. $B_n$) l'événement « $A$ (resp. $B$) gagne le $n$-ème point » ainsi que $a_n = P(A_n)$ et $b_n = P(B_n)$.

Calculer $a_1$ et $a_2$.
A gagne le deuxième point, quelle est la probabilité qu'il ait gagné le premier ?
Montrer qu'il existe une matrice $M \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telle que $\forall n \in \mathbb N^*$, $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.
Montrer que $M$ est diagonalisable puis expliquer la méthode pour déterminer $M^n$.
Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent-elles ?
Grâce à python, représenter graphiquement les dix premiers termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Epreuve Orale 6485

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