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Epreuve Orale 6485

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : TSI

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Probabilités, Puissance de Matrice, Suites récurrentes

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Deux joueurs A et B s'affrontent lors d'un match de badminton selon les règles suivantes :
  •   A commence à servir ;
  •   le joueur qui gagne le point sert pour le point suivant ;
  •   le joueur qui sert a probabilité $2/3$ de gagner le point et $1/3$ de le perdre.
Pour $n \in \mathbb N^*$, on note $A_n$ (resp. $B_n$) l'événement « $A$ (resp. $B$) gagne le $n$-ème point » ainsi que $a_n = P(A_n)$ et $b_n = P(B_n)$.
  1. Calculer $a_1$ et $a_2$.
  2. A gagne le deuxième point, quelle est la probabilité qu'il ait gagné le premier ? 
  3. Montrer qu'il existe une matrice $M \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telle que $\forall n \in \mathbb N^*$, $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.
  4. Montrer que $M$ est diagonalisable puis expliquer la méthode pour déterminer $M^n$. 
  5. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent-elles ? 
  6. Grâce à python, représenter graphiquement les dix premiers termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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