Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

1. Montrer que $f$ est définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et montrer que $\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \ S'(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+x)^2}$.

2. À l'aide du critère spécial des séries alternées, trouver la monotonie de $S$.

3. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \ S(1+x) + S(x) = \dfrac{1}{x} $, puis en déduire un équivalent simple de $S(x)$ pour $x$ qui tend vers 0.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers