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Epreuve Orale 6457

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Arithmétique, Matrices à coefficents entiers, Programmation en Python

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
1. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Montrer que $\det(M)\in\mathbb{Z}$ et $\operatorname{com}(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$.
On suppose $M$ inversible. Que peut-on dire sur $\det(M)$ si $M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ? Montrer que dans ce cas les coefficients de la première colonne de $M$ sont premiers entre eux.
2. a) Soit $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$. On note $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. Justifier que $a\wedge b = b\wedge r$. Écrire une fonction $\texttt{bezout(a,b)}$ qui prend en entrée deux entiers relatifs et renvoie une liste d'entiers $\texttt{[d,u,v]}$ tels que $a\wedge b = d$ et $au+bv=d$.
b) Soit $(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{Z}^n$. On considère une matrice $B\in\mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{Z})$ telle que sa première colonne soit ${}^t\!\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_{n-1}\end{pmatrix}$ et $\det(B)=\operatorname{PGCD}(a_1,\dots,a_{n-1})$. Soit $L = \begin{pmatrix}a_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1,n-1}(\mathbb{Z})$, $T=\lambda \,{}^t\!\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_{n-1}\end{pmatrix}$ avec $\lambda\in\mathbb{R}$, et $\mu\in\mathbb{R}$. On note $A=\begin{pmatrix}B & T \\ L & \mu\end{pmatrix}$. Donner des conditions sur $\lambda$ et $\mu$ pour avoir $\det(A)=\operatorname{PGCD}(a_1,\dots,a_n)$.
3. Écrire une fonction $\texttt{M(a)}$ qui prend en entrée une liste de $n$ entiers et renvoie une matrice dont les coefficients de la première colonne sont les éléments dans l'ordre de $\tt a$ et dont le déterminant vaut le PGCD des éléments de $\tt a$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Épreuve de mathématiques 2 avec programmation en Python. L'énoncé est incomplet : il y avait d'autres questions en suivant.

Commentaires

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