Énoncé(s) donné(s)
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé tel que $P(X=1) = P(X=-1) = 1/2$
Soit $(X_i)_{i\geq 0}$ une famille de variable aléatoire indépendantes de même loi que $X$.
On pose $S_0=0$ et pour $n\geq 1$, $S_n=X_1+\dots+X_n$.
Et on pose $T=\min\{n\geq 1,\ S_n=1\}$ si ce minimum existe, et $+\infty$ sinon
1. Soit $n$ un entier naturel, donner $P(T = 2n + 1)$
2. Python :
a. Programmer une fonction marche_alea(n), simulant une marche aléatoire et renvoyant $S_n$
b. Programmer une fonction temps_retour(), simulant $T$
c. Pour $n$ un entier naturel, on pose $P(T = 2n) = \frac{\alpha_n}{2\times 4^n}\binom{2n}{n}$.
Estimer $\alpha_n$ à l'aide de python
d. Déterminer par une méthode probabiliste si $T$ est presque sûrement finie, que peut-on conjecturer ?
3. On suppose que l'expression trouvée pour $\alpha_n$ est correcte. Déterminer par le calcul si $T$ est d'espérance finie ou non.
(4ème question non traitée, à propos de la variable T)
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
$\alpha_n=\frac{1}{n+1}$
Commentaires divers
L'examinateur m'a demandé de continuer à programmer d'autres fonctions après le temps de préparation pour tester mon code (notamment faire plusieurs appels aux fonctions codées).
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