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Epreuve Orale 6450

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Arithmétique, Programmation en Python

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
On pose $E_p = \{ n\in\mathbb{N}, \ \forall (u,v)\in\mathbb{Z}^2, \ p \mid u^n+v^n \implies (p\mid u \text{ et } p\mid v) \} $.
1. Pourquoi peut-on se restreindre à $(u,v)\in [\![ 0;p-1 ]\!]$ ?
2. Programmez un algorithme qui renvoie ${\tt True}$ si $n\in E_p$ et ${\tt False}$ sinon.
3. On note $v_p$ la valuation 2-adique de $p-1$. Écrire un algorithme qui renvoie $2^{v_p}$.
4. Pour $p\leq 50$, déterminer $E_p \cap [\![ 0;100 ]\!]$. Que peut-on conjecturer ?
5. Déterminer $E_2$.
On pose $\phi_n : x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mapsto x^n$.
6. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}, \ n\in E_p \Longleftrightarrow -1 \notin \operatorname{Im}(\phi_n)$.
7. Montrer que $2^{v_p} \in E_p$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Épreuve de Mathématiques 2 avec programmation en Python.
Énoncé incomplet : il manque la question 8.

Commentaires

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