Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Arithmétique - Programmation en Python

Énoncé(s) donné(s)

On pose $E_p = \{ n\in\mathbb{N}\ /\ \ \forall (u,v)\in\mathbb{Z}^2, \ p \mid u^n+v^n \Rightarrow (p\mid u \text{ et } p\mid v) \} $.

1. Pourquoi peut-on se restreindre à $(u,v)\in [\![ 0,p-1 ]\!]$ ?

2. Programmez un algorithme qui renvoie $\tt True$ si $n\in E_p$ et $\tt False$ sinon.

3. On note $v_p$ la valuation 2-adique de $p-1$. Écrire un algorithme qui renvoie $2^{v_p}$.

4. Pour $p\leqslant 50$, déterminer $E_p \cap [\![ 0,100 ]\!]$. Que peut-on conjecturer ?

5. Déterminer $E_2$.

On pose $\phi_n : x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mapsto x^n$.

6. Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}, \ n\in E_p \Longleftrightarrow -1 \notin \operatorname{Im}\phi_n$.

7. Montrer que $2^{v_p} \in E_p$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Épreuve de Mathématiques 2 avec programmation en $\tt Python$.

Énoncé incomplet : il manque la question 8.

Epreuve Orale 6450