Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 6449

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégration sur un segment, Séries entières

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $f$ la somme de la série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R>0$.
1. Calculer, pour $r\in\left]0;R\right[$, $\displaystyle \int_0^{2\pi} f(re^{it})\,{\rm d}t$.
2. On considère l'égalité suivante :
$$\forall r\in\left]0;R\right[, \ \forall z\in B(0,r), \ f(z) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} r e^{it} \dfrac{f(re^{it})}{re^{it}-z}\,{\rm d}t.$$
a) Montrer l'égalité pour $f:z\mapsto z^n$, $n\in\mathbb{N}$.
b) Montrer l'égalité pour la fonction $f$ définie dans l'introduction.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Énoncé incomplet : il manque la question 3.

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