Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Développement en série entière - Dimension d'un sous-espace vectoriel

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Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\ \textbf {Exercice 1}\vphantom{|}\ }\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$, $(u,v)\in\mathcal{L}(E)^2$.
On pose $A=\{x\in\mathcal{L}(E) ~/~ v\circ x\circ u = 0_{\mathcal{L}(E)} \}$.

Montrer que $A$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et donner sa dimension en fonction de $\operatorname{rg}u$ et $\operatorname{rg}v$.

$\boxed{\ \textbf {Exercice 2}\vphantom{|}\ }\vphantom{\displaystyle\int}$

Soit $\alpha \in\left]0,\pi\right[$ et $f : \begin{array}[t]{rcl}\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\x & \longmapsto & \dfrac{x^2+1}{x^2+2x\operatorname{cotan}(\alpha)-1}\end{array}$

Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinage de $0$ et le déterminer.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Epreuve Orale 6448

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