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Epreuve Orale 6448

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Développement en série entière, Dimension d'un sous-espace vectoriel

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$, $(u,v)\in\mathcal{L}(E)^2$.
On pose $A=\{x\in\mathcal{L}(E) ~/~ v\circ x\circ u = 0_{\mathcal{L}(E)} \}$.
Montrer que $A$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et donner sa dimension en fonction de $\operatorname{rg}(u)$ et $\operatorname{rg}(v)$.

Exercice 2 :
Soit $f : \begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\x & \longmapsto & \dfrac{x^2+1}{x^2+2x\operatorname{cotan}(\alpha)-1}\end{array}$, avec $\alpha \in\left]0;\pi\right[$.
Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinage de $0$ et le déterminer.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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