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Epreuve Orale 6447

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Arithmétique, Dénombrement, Programmation en Python

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
1. a) Coder $\displaystyle\binom{n}{k}$.
b) On note $P(n)$ l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ et $P_n$ le produit des éléments de $P(n)$.
Coder sur Python une fonction qui renvoie $P_n$, puis calculer $P_{\binom{4}{2}}$ et $P_{\binom{6}{3}}$.
2. Montrer que $\displaystyle \forall k\in\mathbb{N}^*, \ \dfrac{4^k}{e\sqrt{k}} < \binom{2k}{k} < 4^k$.
3. a) Montrer que $\displaystyle \binom{2k+1}{k} < 4^k$.
b) Montrer que $P_k < 4^k$ (on pourra trouver une relation entre $P_{2k+1}$, $P_{k+1}$ et $k$).
4. On pose $\pi(n)= \operatorname{card}(P(n))$. Montrer que $\pi(n) < \dfrac{n}{2}\pm 1$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Épreuve de mathématiques 2 avec utilisation de Python.
Plus sûr du signe à la question 4.

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