Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }}\vphantom{\displaystyle\int}$

Soit $E$ un espace euclidien, $u$ un endomorphisme symétrique de $E$.

1. Soit $\alpha = \min\operatorname{Sp}(u)$, $\beta = \max\operatorname{Sp}(u)$. Montrer que $\forall x\in E, \ \alpha \|x\|^2 \leqslant \langle u(x) , x \rangle \leqslant \beta \|x\|^2 $.

2. Montrer que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+ \Longleftrightarrow \forall x\in E, \ \langle u(x),x\rangle \geqslant 0 $, puis que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \forall x\in E\backslash\{0\}, \ \langle u(x),x\rangle > 0 $.

3. On suppose que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$. Montrer que $\forall x\in E, \ (u(x)=0 \Longleftrightarrow \langle u(x),x \rangle = 0)$.

4. Soit $v$ un autre endomorphisme symétrique de $E$. On suppose $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$ et $\operatorname{Sp}(v) \subset \mathbb{R}_+$.

    a) Montrer que $\operatorname{Sp}(u+v) \subset \mathbb{R}_+$.

    b) Montrer que $\operatorname{Ker}(u+v)=\operatorname{Ker}u)\cap\operatorname{Ker}v$.

    c) Montrer que $\operatorname{Im}(u+v)=\operatorname{Im}u+\operatorname{Im}v$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers