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Epreuve Orale 6443

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : endomorphisme symétrique, Espaces euclidiens

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : n°55 de la banque

Exercice 2 :
Soit $E$ un espace euclidien, $u$ un endomorphisme symétrique de $E$.
1. Soit $\alpha = \min(\operatorname{Sp}(u))$, $\beta = \max(\operatorname{Sp}(u))$. Montrer que $\forall x\in E, \ \alpha \|x\|^2 \leq \langle u(x) , x \rangle \leq \beta \|x\|^2 $.
2. Montrer que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+ \Longleftrightarrow \forall x\in E, \ \langle u(x),x\rangle \geq 0 $, puis que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \forall x\in E\backslash\{0\}, \ \langle u(x),x\rangle > 0 $.
3. On suppose que $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$. Montrer que $\forall x\in E, \ u(x)=0 \Longleftrightarrow \langle u(x),x \rangle = 0$.
4. Soit $v$ un autre endomorphisme symétrique de $E$. On suppose $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$ et $\operatorname{Sp}(v) \subset \mathbb{R}_+$.
a) Montrer que $\operatorname{Sp}(u+v) \subset \mathbb{R}_+$.
b) Montrer que $\operatorname{Ker}(u+v)=\operatorname{Ker}(u)\cap\operatorname{Ker}(v)$.
c) Montrer que $\operatorname{Im}(u+v)=\operatorname{Im}(u)+\operatorname{Im}(v)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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