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Epreuve Orale 6437

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Dérivation, Espaces euclidiens, Intégration sur un segment

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Soit $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ telle que $f(0)=0$.
1. Montrer que $\displaystyle \forall x\neq 0, \ \dfrac{f(x)}{x} = \int_0^1 f'(xt) \,{\rm d}t$.
2. Montrer que $\forall k\in [\![ 0,n ]\!]$, $\lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{f(x)}{x}\right)^{(k)} = \dfrac{f^{(k+1)}(0)}{k+1} $.

Exercice 2 :
Soit $E$ un espace euclidien. Soit $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls de $E$.
Quelle(s) condition(s) y a-t-il sur $x$ et $y$ pour que le projeté orthogonal de $x$ sur $\operatorname{Vect}(y)$ soit égal au projeté orthogonal de $y$ sur $\operatorname{Vect}(x)$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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