Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 1 :

Soit $E=\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Pour $f$ dans $E$, on pose $u(f) : x\mapsto\int_x^{x+1}f$.
1) Soit $a\in\mathbb{R}$ et on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $h_a : t\mapsto e^{at}$. Montrer que $u(h_a)=\lambda_a h_a$, avec $\lambda_a=\frac{e^a-1}{a}$ si $a\ne0$ et $\lambda_0=1$.
2)a) Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $F(x)=\int_0^xf$. Ecrire $u(f)$ en fonction de $F$. Montrer que $u(f)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer $(u(f))'$.
b) $u$ est-elle surjective?
3)a) Montrer que $f$ est dans $\ker(u)$ si et seulement si $f$ est $1$-périodique et $\int_0^1f=0$.
b) Soit $k\in\mathbb{N}$. Montrer que $c_k : t\mapsto \cos(2\pi kt)$ est dans $\ker(u)$.
4) Montrer que l'application $(.,.) : (f,g)\mapsto \int_0^1fg$ définit un produit scalaire sur le sous-espace des fonctions $1$-périodiques de $E$.
Montrer que : $\forall k,l\in\mathbb{N},\;k\ne l \Rightarrow(c_k,c_l)=0$.
La dimension de $\ker(u)$ est-elle finie?
5) Déterminer $\mathbb{R}_+\cap Sp(u)$. 


Exercice 2 :

Soit $n\geq2$ et on pose $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$.
1) Nature de $\sum_{n\geq 2}\ln(1+a_n)$.
2) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\prod_{k=2}^n(1+a_k)\right)$.