Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
1- Soit $(k,x)\in(\mathbb{N^{*}} , \mathbb{R})$
Montrer que $E\left(\frac{E{(kx)}}{k}\right)=E{(x)}$
2- Soit $n\in\mathbb{N^{*}}$.
Soit $(x_k)_{k\geq 1}$ définie par : $\begin{cases}x_0=n \\ x_{k+1}=E\left(\frac{x_k+E{({n}/{x_k}})}{2}\right)\end{cases}$
a) Montrer que $\forall k,\quad x_k\geq E{(\sqrt{n})}$
b) Montrer que $x_k=x_{k+1} \quad\Longleftrightarrow\quad x_k=\sqrt{n}$