Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Soit $E = \left\{ f \in \mathbb{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\ | \  \forall k \in \mathbb{N},\forall x \in \mathbb{R}:|f^{(k)}(x)|\leqslant 1 \right\}$
Soit $P(f) = || f^{2} + f'^{2}||_{\infty}$ et $Q(f) = f(0)^{2}+f'(0)^{2}$.
On note encore $X = \left\{f \in E / f(0) = 0\right\}$ et $Y= \left\{ f \in E / f'(0)=1\right\}$
On suppose pour l'instant que $\sup \limits _{f \in E} P(f) =1$

1) a) Montrer que $f \in E \Rightarrow f$ est DSE(0).
b) Montrer que $ Y \subset X$.
c) Montrer que $f \in Y \Rightarrow -f" \in Y$.
d) En déduire que $f \in Y \Rightarrow f= \sin$.
2) Montrer que $\sup \limits _{f \in E} P(f) =1$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Pour la 1) c), il suffit de savoir quoi dériver et de faire un bon dessin. La question la plus délicate est la question 2).