Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
I- Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3 = -A$.
   1- $A$ est-elle diagonalisable dans $\mathbb{C}$ ? Dans $\mathbb{R}$ ?
  2- Montrer que la trace de $A$ est nulle. Prouver que le rang de $A$ est pair.
  3- Montrer que si $n=3$ et que $A$ est non nulle, alors $A$ est semblable dans $\mathbb{R}$ à $\pmatrix{0&0&0\cr 0&0&-1\cr 0&1&0\cr }$.

II- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $a_n = \: n^{(-1)^n}$. Rayon de convergence et somme de $\sum a_n \, x^n$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.