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\title{Oral de Mathématique Mines-Ponts}
\date{}

\begin{document}
	
	\maketitle
	\section*{Exercice 1 (avec préparation)}
	
	\noindent Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$. \\
	Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, on note $\chi_A$ son polynôme caractéristique.
	
	\subsection*{1)}
	\begin{enumerate}
		\item[a)] Donner le lien entre la diagonalisabilité de $A$ et son polynôme minimal.
		\item[b)] On suppose que $\chi_A$ a $n$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
		\item[c)] Donner un exemple de matrice dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ non diagonalisable ; dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.
	\end{enumerate}
	
	\subsection*{2)}
	On note $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les racines de $\chi_A$ comptées avec multiplicités et
	\[
	\Delta(A) = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} |\lambda_i - \lambda_j|^2
	\]
	\begin{enumerate}
		\item[a)] Montrer que $\chi_A$ a $n$ racines distinctes si et seulement si $\Delta(A) \neq 0$.
		\item[b)] Montrer que l'application
		\[
		\begin{aligned}
			\Delta : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) &\longrightarrow \mathbb{R}_+ \\
			A &\longmapsto \Delta(A)
		\end{aligned}
		\]
		est polynomiale en les coefficients de $A$.
		\item[c)] En déduire que l'ensemble des matrices à $n$ valeurs propres distinctes est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
	\end{enumerate}
	
	\pagebreak
	
	\section*{Exercice 2 }
	
	\subsection*{1)}
	Soient $P \in \mathbb{C}[X]$, $k \in \mathbb{N}^*$. On écrit :  $ P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$, avec $a_i \in \mathbb{C}, \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ \\
	Calculer :
	\[
	\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} P\left(e^{it}\right) e^{-ikt} \, \mathrm{d}t
	\]
	
	\subsection*{2)}
	Soit $A_1, \dots, A_n$ des points du plan complexe d'affixes respectives $z_1, \dots, z_n$. Montrer qu'il existe un point $P$ sur le cercle unité d'affixe $z_P$ tel que :
	
	$ \prod_{i=1}^n x_i \geqslant 1 \quad \text{où} \quad x_i = |z_i - z_P|, \; \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket $
	\pagebreak
	
	
	\section*{Exercice 3}
	
	\subsection*{}
	Soit $p \in \, ]0, 1[\,$. $X, Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux la loi géométrique de paramètre $p$. \\
	Calculer :
	\[
	\mathbb{P}\left(X^Y \geqslant Y^X\right)
	\]
	
\end{document}