Epreuve Orale 96

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2012
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Réduction des matrices, Séries numériques
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 13 d'analyse de la banque :
Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs.
  • Montrez que $u_n \sim v_n \Longrightarrow \; \sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
  • Étudiez la convergence de la série $\sum \frac{(i-1) \, \sin (1/n)}{\sqrt{n} -1}$ où $i$ est le nombre complexe de carré égal à $-1$.

II- (sur 12 points) Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 4, $f$ un endomorphisme de $E$
tel que $\operatorname{Ker} (f- I_E) \neq  \operatorname{Ker} (f-I _E)^2$, $\operatorname{Ker} f \neq \{ 0 \}$ et $\operatorname{Tr}f=4$.
  1. Montrer que 0 et 1 sont valeurs propres de $f$ et que $f$ n'est pas diagonalisable.
  2. Montrer l'existence de $x_0 \in \operatorname{Ker} (f- I_E)^2 \setminus \operatorname{Ker} (f- I_E)$ tel que $F = \operatorname{Vect} (x_0, f(x_0)$ soit un plan de $E$.
  3. Montrer que 1 est valeur propre de multiplicité 2.
  4. Montrer l'existence d'une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est
$M =\pmatrix{2&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&1&1\cr 0&0&0&1\cr}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.
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