Énoncé(s) donné(s)
I- (
sur 8 points) Exercice 13 d'analyse de la banque :
Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs.
- Montrez que $u_n \sim v_n \Longrightarrow \; \sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
- Étudiez la convergence de la série $\sum \frac{(i-1) \, \sin (1/n)}{\sqrt{n} -1}$ où $i$ est le nombre complexe de carré égal à $-1$.
II- (
sur 12 points) Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 4, $f$ un endomorphisme de $E$
tel que $\operatorname{Ker} (f- I_E) \neq \operatorname{Ker} (f-I _E)^2$, $\operatorname{Ker} f \neq \{ 0 \}$ et $\operatorname{Tr}f=4$.
- Montrer que 0 et 1 sont valeurs propres de $f$ et que $f$ n'est pas diagonalisable.
-
Montrer l'existence de $x_0 \in \operatorname{Ker} (f- I_E)^2 \setminus \operatorname{Ker} (f- I_E)$ tel que $F = \operatorname{Vect} (x_0, f(x_0)$ soit un plan de $E$.
-
Montrer que 1 est valeur propre de multiplicité 2.
-
Montrer l'existence d'une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est
$M =\pmatrix{2&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&1&1\cr 0&0&0&1\cr}$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.
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